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(跟上一章同样的理由)

伯克利基数:Berkeley 基数是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数K,具有以下性质:

对于包含k和α<k的每个传递集M,存在M的非平凡初等嵌入,其中a<临界点<K.Berkeley基数是比Reinhardt基数严格更强的基数公理,这意味着它们与选择公理不兼容。作为伯克利基数的弱化是,对于Vk上的每个二元关系R,都有(VK,R)的非平凡基本嵌入到自身中。

这意味着我们有基本的

j1,j2, j3...

j1:(Vk,∈)→(VK,∈),

j2:(VK,∈,j1)→(Vk,∈,j1),

j3:(Vk,∈,j1,j2)→(VK,∈,j1,j2)等等。

这可以持续任意有限次,并且在模型具有依赖性选择的范围内无限。

因此,似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。对于每个序数入,存在一个ZF+Berkeley基数的传递模型,该模型在入序列下是封闭的,是不需要定义的类。

超级莱茵哈特基数:对于任一序数α,存在一j:V→V with j(K)>α并具有临界点K,可以称为0=1是因为足够大的大基数公理会导致不一致性,从而使该系统下所有命题为真。

伯克利club:基数κ是伯克利基数,如果对于任何带κ的传递集k∈M和任何序数α<κ,都会有一个初等嵌入j:M<M和crit j<k,如果真的存在伯克利基数,那么就会有对力迫扩张绝对,它使最小的伯克利基数有共尾性ω,通过对κ的施加一定的条件,似乎可以增强Berkeley性质,如果κ是Berkeley和α,α∈M且M有传递,那么对于任意α<k,都有一个j:M<M和α<crit j<k和crit j(a)=a,对于任意一个可传递的M?k都存在j:M?M与crit j<K,基数是Berkeley,且仅当对于任何传递集M?κ存在j:M?M和α<crit j<k,因此δ≥k,δ也是伯克利,最小的伯克利基数也被称为δ_α,称κ为club-伯克利,如果κ是正则的,并且对于所有club→C?κ和所有带κ的传递集M∈M;有j∈ε(M)和crit (j)∈C,称κ为limit club伯克利,它是一个club伯克利基数/limi

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